MADEA : Calcul analytique des systèmes à aimants permanents en 3 dimensions

Le problème du calcul d'un système magnétique est assez complexe. L'état magnétique résulte d'un équilibre pour minimiser l'énergie. Il est souvent résolu par des méthodes numériques, comme la méthode des éléments finis. Dans certains cas, comme celui des aimants permanents, les sources de champ et la polarisation des aimants sont connues. Il devient alors possible de calculer le champ magnétique en tout point ainsi que les interactions quand le système est linéaire. Devant l'intérêt de cette méthode, nous avons développé le calcul analytique de l'énergie d'interaction, des forces, et des couples en trois dimensions.

Nous avons publié les premiers calculs analytiques 3D en 1984. Il s'agissait à l'époque de calculer l'énergie et les forces d'interaction entre deux parallélépipèdes aimantés, à côtés parallèles et aimantations parallèles. C'était une première mondiale ; le calcul était réputé infaisable sans intégration numérique. Nous avons obtenu les expressions analytiques exactes de l'énergie d'interaction et des 3 composantes des forces, sous forme de fonctions utilisant des logarithmes et arc-tangentes.

Avec le développement des aimants modernes, qui permette la construction de systèmes où les directions d'aimantations sont multiples (cylindres de Halbach par exemple), les besoins ne se limitent plus au cas à aimantations parallèles. Ils sont de plus en plus importants pour des directions d'aimantations quelconques, et pour calculer toutes les interactions c'est-à-dire les 3 composantes des couples en plus des 3 composantes des forces. C'est pourquoi nous avons relancé ces travaux sur ces calculs analytiques 3D. La principale différence par rapport aux premières études, c'est l'aide importante apportée par certains logiciels pour résoudre certaines intégrales analytiques.

Le premier résultat récent a été la résolution du cas où les aimantations sont perpendiculaires. Par combinaison des expressions (aimantations parallèles et perpendiculaires), les interactions entre deux aimants de direction d'aimantation quelconque peuvent être calculé analytiquement.

Le deuxième résultat a été la résolution du cas où les aimants sont inclinés l'un par rapport à l'autre. Quelques éléments de ces calculs étaient déjà connus ; notre apport original a été d'aller jusqu'au calcul de l'énergie d'interaction. Par dérivation de cette énergie on peut calculer les expressions analytiques des forces, des raideurs, etc.

Le troisième résultat important a été la résolution du calcul du couple. La dérivation angulaire de l'énergie est difficile à faire. Ce nouveau résultat est très important car l'obtention des expressions analytiques du couple permet d'écrire l'ensemble des 6 composantes qui s'exercent sur un aimant, les 3 composantes de la force et les 3 composantes du couple sous forme d'expressions analytiques.

L'ensemble de ces résultats analytiques 3D permet de calculer de très nombreux systèmes, soit par calcul direct entre blocs aimantés, soit le système peut être décomposé en une série de blocs en interaction :

Pour la composante Tx, cette fonction est donnée par :

Pour la composante Ty :

Pour la composante Tz :